homology-operator¶

从边界构造、以核实现同调的二元算子¶

本项目提出一种定义在原链空间上的二元同调算子。给定有限带基链窗口及正坐标权重，构造线性投影 \(P\) 与算子 \(L=I+P\)：

\[ C_{k+1}\xrightarrow{D}C_k\xrightarrow{A}C_{k-1},\quad AD=0, \qquad P=(I+DU)(I+GA),\quad L=I+P. \]

广义逆满足 \(AGA=A\)、\(DUD=D\)。算子的核心关系是

\[ \boxed{\ker L=\mathrm{im}\,P\cong H_k(C;\mathbf F_2).} \]

核中的向量是每个同调类唯一的选定循环代表。对循环 \(z\)，\(Pz\) 保持原类，并满足 \(P(z+y)=Pz+Py\)；因此代表选择是一条同时约束全部类的线性规则。同一个 \(P\) 的带权作用给出质量、距离和共享支撑；过滤中核之间的投影传输给出完整持久同调模及其 barcode。

从算子理论开始阅读定义、构造和证明，或直接运行六边完整算例。

一个算子，三种读取¶

读取层次	数学对象	能回答的问题
同调	\(\ker L\)、\(Pz\)	有多少独立类？这个循环属于哪个类？选定代表在哪里？
加权几何	\(m_w(Pz)\)、\(m_w(P(z+y))\)、支撑交/并	实现这个类要多少代价？类之差如何实现？哪些坐标共享并抵消？
持久性	\(T_{ij}=P_jJ_{ij}\vert_{\ker L_i}\)	类如何跨尺度传输、合并或死亡？相应区间是什么？

类距离为零恰好表示同类；非零值记录差类的选定实现成本。几何单位来自输入权重。\(L\) 的特征值只有 \(0,1\)，新增几何信息由带权作用读取。

最小伸长：同时控制全部线性组合¶

可行投影通常不唯一。以最坏循环质量比选择投影，得到最小伸长目标

\[ \Gamma_w(P)=\max_{0\ne z,\ Az=0}\frac{m_w(Pz)}{m_w(z)},\qquad \Gamma_*=\min_{P\ \mathrm{legal}}\Gamma_w(P). \]

它与最小伸长线性截面问题等价：每个类输出一个代表，同时保持所有组合的线性关系。当 Betti 数 \(\beta>0\) 时，\(1\le\Gamma_*\le\beta\)。

六边复形的三个非零类最短质量为 \((8,8,9)\)。最小总质量基产生输出 \((8,8,12)\)，伸长 \(4/3\)；最小伸长算子产生 \((8,9,9)\)，伸长 \(9/8\)。共享支撑的抵消解释了这个选择。完整四截面枚举、矩阵与证明见数学算例。

运行这个算子¶

from fractions import Fraction
from homology_operator import (
    ChainWindow, HomologyOperator, Matrix, ProjectionProblem, solve_projection,
)

window = ChainWindow(
    k=1,
    A=Matrix.from_rows((
        (1, 1, 1, 0, 0, 0),
        (1, 0, 0, 1, 1, 0),
        (0, 1, 0, 1, 0, 1),
        (0, 0, 1, 0, 1, 1),
    )),
    D=Matrix.from_rows(((1,), (1,), (0,), (1,), (0,), (0,))),
    basis_previous=("v0", "v1", "v2", "v3"),
    basis_current=("01", "02", "03", "12", "13", "23"),
    basis_next=("012",),
    weights=(2, 4, 2, 3, 4, 2),
)
solution = solve_projection(
    ProjectionProblem(window, requested_certificate_level="ExactOptimal"),
    "ExhaustiveExactSolver",
)
if solution.projection is None:
    raise RuntimeError((solution.status, solution.diagnostics))
op = HomologyOperator(window, solution)

z = (1, 0, 1, 0, 1, 0)
y = (0, 1, 1, 0, 0, 1)
assert solution.certificate_level == "ExactOptimal"
assert solution.objective.value == Fraction(9, 8)
assert op.betti() == 2
assert op.selected_mass(z) == 8
assert op.selected_mass(y) == 9
assert op.class_distance(z, y) == 9
assert op.shared_support(z, y) == (0, 2)
assert op.stretch().value == Fraction(9, 8)

代码中的投影经独立合法性与最优证书验证。默认 FeasibleSolver 则构造合法算子，保持同一读取语义；solver 支持域、搜索代价和认证见契约。 selected_mass 表示选定代表质量，真正最短类质量查询当前不可用。

安装与计算后端¶

Python 3.10+；reference 运行时仅依赖标准库。Python 包版本为 0.0.2；PyPI 上传状态和安装命令见安装。

git clone https://github.com/proffitteoy/homology-operator.git
cd homology-operator
python -m pip install .

可选 Rust 后端提供 packed 代数、复用分解、Factorized/HC action、限定 solver 与批查询。两种后端实现同一算子契约。输入由调用者提供带基边界窗口；一般点云、Rips 和复形构造前端须另外提供。详细说明见安装和native 指南。

按问题继续阅读¶

算子理论：定义、核定理、投影族、伸长界、几何与持久传输证明。
输入语义与快速上手：把实际边界数据变成算子。
单尺度与几何、有限过滤：读取代表、距离和追踪。
API、solver 契约、结果模型：支持域、认证、身份与恢复。
架构与开发验证：模块、测试和文档构建。

项目采用 MIT License。研究引用请记录实际版本与提交，见 CITATION.cff。