单尺度与加权几何¶

构造与查询¶

从 ChainWindow 建立 ProjectionProblem，通过 solve_projection 得到解。确认 solution.projection 存在，再构造 HomologyOperator。最小代码见快速上手。

所有查询来自同一个 P；L=I+P，betti() 返回 dim ker(L)。

查询	定义
project / apply_operator	任意链上的 Px / Lx
class_representative	循环的 Pz
same_class	两循环投影是否相同
selected_mass	当前代表的加权质量 m_w(Pz)
class_distance	m_w(P(z+y))
support / shared_support / union_support	原基上的投影支撑及其交/并

类查询拒绝非循环。原始 project 的输出不会自动把非循环解释成同调类。

质量与认证¶

同类代表可以有不同质量；selected_mass 仅报告当前 P 的选择。真实最短类质量 minimum_class_mass 当前为 Unavailable。 stretch() 计算当前 P 在非零循环上的最大质量比；合法性、当前 objective、全局最优性分开验证。空循环域为 EmptyDomain 与约定值 0；非空循环域但 Betti=0 为 Computed 的合法 0。

保存结果¶

标量方法返回值，readout 返回带身份与状态的 QueryResult 并记录查询。 to_result() 保留已查询结果；未计算的 stretch 和最短质量不会自动求值。返回字段与 JSON 恢复见结果模型，求解范围见solver 契约。

六边复形的精确算子¶

四顶点完全图有三个循环方向。填充面 \(012\) 后，删去一个边界方向，留下二维 \(H_1\)。按边序 \((01,02,03,12,13,23)\) 使用权重 \((2,4,2,3,4,2)\)。数学算例穷尽全部四个线性截面，证明最小伸长为 \(9/8\)。下面从实际窗口求解算子，同时读取拓扑和几何。

from fractions import Fraction
from homology_operator import (
    ChainWindow, HomologyOperator, Matrix, ProjectionProblem, solve_projection,
)

window = ChainWindow(
    k=1,
    A=Matrix.from_rows((
        (1, 1, 1, 0, 0, 0),
        (1, 0, 0, 1, 1, 0),
        (0, 1, 0, 1, 0, 1),
        (0, 0, 1, 0, 1, 1),
    )),
    D=Matrix.from_rows(((1,), (1,), (0,), (1,), (0,), (0,))),
    basis_previous=("v0", "v1", "v2", "v3"),
    basis_current=("01", "02", "03", "12", "13", "23"),
    basis_next=("012",),
    weights=(2, 4, 2, 3, 4, 2),
)
solution = solve_projection(
    ProjectionProblem(window, requested_certificate_level="ExactOptimal"),
    "ExhaustiveExactSolver",
)
if solution.projection is None:
    raise RuntimeError((solution.status, solution.diagnostics))
op = HomologyOperator(window, solution)

z = (1, 0, 1, 0, 1, 0)
y = (0, 1, 1, 0, 0, 1)
assert solution.certificate_level == "ExactOptimal"
assert solution.objective.value == Fraction(9, 8)
assert op.betti() == 2
assert op.selected_mass(z) == 8
assert op.selected_mass(y) == 9
assert op.class_distance(z, y) == 9
assert op.shared_support(z, y) == (0, 2)
assert op.stretch().value == Fraction(9, 8)

assert op.class_representative(z) == (1, 0, 1, 0, 1, 0)
assert op.class_representative(y) == (1, 0, 1, 1, 0, 1)
assert op.union_support(z, y) == (0, 2, 3, 4, 5)
assert sum(window.weights[i] for i in op.shared_support(z, y)) == 4
assert sum(window.weights[i] for i in op.union_support(z, y)) == 13
assert op.P @ op.P == op.P
assert window.A @ op.P == Matrix.zero(4, 6)
assert op.P @ window.D == Matrix.zero(6, 1)

unit_window = ChainWindow(
    k=window.k, A=window.A, D=window.D,
    basis_previous=window.basis_previous,
    basis_current=window.basis_current,
    basis_next=window.basis_next, weights=(1,) * 6,
)
unit_solution = solve_projection(
    ProjectionProblem(unit_window, requested_certificate_level="ExactOptimal"),
    "ExhaustiveExactSolver",
)
unit_op = HomologyOperator(unit_window, unit_solution)
assert unit_op.betti() == op.betti()
assert unit_solution.certificate_level == "ExactOptimal"
assert unit_solution.objective.value == Fraction(4, 3)

这里 \(z\) 是三角圈 \(013\)，\(y\) 是三角圈 \(023\)，各自最短质量均为八。当前投影给 \(y\) 加上面 \(012\) 的边界，选定质量为九；这一选择让组合输出的质量由十二降为九。共享边 \(01,03\) 总质量四，支撑并的总质量十三。所有输出都来自当前存储的同一个 \(P\)，其核实现 \(H_1\)。

单位权变体具有相同边界与 Betti 数，却有不同的最优伸长 \(4/3\)。这些几何量描述输入坐标的代价。完整证明和四截面表见算子理论。独立 solver verifier 在这个小规模支持域内认证全局最优；默认可行 solver 不给该认证。